Giải bài tập trang 54 bài 6 hệ thức Vi-et và ứng dụng SGK Toán 9 tập 2. Câu 31: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình…
Bài 31 trang 54 sgk Toán 9 tập 2
Bài 31. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:
Bạn đang xem bài: Giải bài 31, 32, 33 trang 54 SGK Toán 9 tập 2
a) \(1,5{x^2}-{\rm{ }}1,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}0,1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);
b) \(\sqrt 3 {x^2}-{\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} – {\rm{ }}\sqrt 3 } \right)x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
c) \(\left( {2{\rm{ }} – {\rm{ }}\sqrt 3 } \right){x^2} + {\rm{ }}2\sqrt 3 x{\rm{ }}-{\rm{ }}\left( {2{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 3 } \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\);
d) \(\left( {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){x^2}-{\rm{ }}\left( {2m{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) với \(m ≠ 1\).
Bài giải:
a) Phương trình \(1,5{x^2}-{\rm{ }}1,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}0,1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Có \(a + b + c = 1,5 – 1,6 + 0,1 = 0\) nên \({x_1} = 1;{x_2} = {\rm{ }}{{0,1} \over {15}} = {1 \over {150}}\)
b) Phương trình \(\sqrt 3 {x^2}-{\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} – {\rm{ }}\sqrt 3 } \right)x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Có \(a – b + c = \sqrt{3} + (1 – \sqrt{3}) + (-1) = 0\) nên \({x_1} = – 1,{x_2} = – {{ – 1} \over {\sqrt 3 }} = {\rm{ }}{{\sqrt 3 } \over 3}\)
c) \(\left( {2{\rm{ }} – {\rm{ }}\sqrt 3 } \right){x^2} + {\rm{ }}2\sqrt 3 x{\rm{ }}-{\rm{ }}\left( {2{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 3 } \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Có \(a + b + c = 2 – \sqrt{3} + 2\sqrt{3} – (2 + \sqrt{3}) = 0\)
Nên \({x_1} = 1,{x_2} = {\rm{ }}{{ – (2 + \sqrt 3 )} \over {2 – \sqrt 3 }} = – {(2 + \sqrt 3 )^2} = – 7 – 4\sqrt 3 \)
d) \(\left( {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){x^2}-{\rm{ }}\left( {2m{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Có \(a + b + c = m – 1 – (2m + 3) + m + 4 = 0\)
Nên \({x_1} = 1,{x_2} = {\rm{ }}{{m + 4} \over {m – 1}}\)
Bài 32 trang 54 sgk Toán 9 tập 2
Bài 32. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) \(u + v = 42\), \(uv = 441\);
b) \(u + v = -42\), \(uv = -400\);
c) \(u – v = 5\), \(uv = 24\).
Bài giải:
a) \(u + v = 42\), \(uv = 441\) → \(u, v\) là nghiệm của phương trình:
\({x^2}-{\rm{ }}42x{\rm{ }} + {\rm{ }}441{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
\(\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{21^2}-{\rm{ }}441{\rm{ }} = {\rm{ }}441{\rm{ }}-{\rm{ }}441{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
\({\rm{ }}\sqrt {\Delta ‘} {\rm{ }} = {\rm{ }}0;{\rm{ }}{x_1} = {\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}21\)
Vậy \(u = v = 21\)
b) \(u + v = -42, uv = -400\), \(u, v\) là nghiệm của phương trình:
\({x^2} + {\rm{ }}42x{\rm{ }}-{\rm{ }}400{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
\(\Delta’ {\rm{ }} = {\rm{ }}441{\rm{ }} + {\rm{ }}400{\rm{ }} = {\rm{ }}841\)
\(\sqrt {\Delta ‘} {\rm{ }} = {\rm{ }}29;{\rm{ }}{x_1} = {\rm{ }}8,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} – 50\).
Do đó: \(u = 8, v = -50\) hoặc \(u = -50, v = 8\)
c) \(u – v = 5, uv = 24\). Đặt \(–v = t\), ta có \(u + t = 5, ut = -24\), ta có \(u,t\) là nghiệm của phương trình: \({x^2} – 5x – 24 = 0\)
Giải ra ta được: \({x_1} = {\rm{ 8}},{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ – 3}}\)
Vậy \(u = 8, t = -3\) hoặc \(u = -3, t = 8\).
Do đó: \(u = 8, v = 3\) hoặc \(u = -3, t = 8\).
Bài 33 trang 54 sgk Toán 9 tập 2
Bài 33. Chứng tỏ rằng nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm là \({x_1}\) và \({x_2}\) thì tam thức \(a{x^2} + bx + c \) phân tích được thành nhân tử như sau:
\(a{x^2} + {\rm{ }}bx{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2})\).
Áp dụng. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a)\(2{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3\)
b) \({\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\)
Bài giải:
Biến đổi vế phải: \(a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}a{x^2}-{\rm{ }}a({x_1} + {\rm{ }}{x_2})x{\rm{ }} + {\rm{ }}a{x_1}{x_2}\)
\( = a{x^2} – a\left( { – {b \over a}} \right)x + a{c \over a} = a{x^2} + bx + c\)
Vậy phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm là \({x_1},{x_2}\) thì:
\(a{x^2} + {\rm{ }}bx{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2})\).
Áp dụng:
a) Phương trình \(2{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0\) nên có hai nghiệm là \({x_1} = 1,{x_2} = {\rm{ }}{3 \over 2}\) nên:
\(2{x^2}{\rm{ + }}5x + 3 = 2(x{\rm{ – }}1)(x – {\rm{ }}{3 \over 2}) = (x – 1)(2x – 3)\)
b) Phương trình \({\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\) có \(a = 3, b = 8, b’ = 4, c = 2\).
Nên \(\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{4^2}-{\rm{ }}3{\rm{ }}.{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}10\), có hai nghiệm là:
\({x_1}\) = \(\frac{-4 – \sqrt{10}}{3}\), \({x_2}\)= \(\frac{-4 + \sqrt{10}}{3}\)
nên: \(3{x^2} + 8x + 2 = 3(x – {\rm{ }}{{ – 4 – \sqrt {10} } \over 3})(x – {\rm{ }}{{ – 4 + \sqrt {10} } \over 3})\)
\( = 3(x + {\rm{ }}{{4 + \sqrt {10} } \over 3})(x + {\rm{ }}{{4 – \sqrt {10} } \over 3})\)
Trường THCS Phan Chu Trinh
Trích nguồn: Trường THCS Phan Chu Trinh
Danh mục: Giải bài tập
