Giải bài tập trang 61, 62 Ôn tập chương II- Phân thức đại số sgk toán 8 tập 1. Câu 57: Chứng tỏ mỗi cặp phân thức sau bằng nhau:…

Bài 57 trang 61 sgk toán 8 tập 1

Chứng tỏ mỗi cặp phân thức sau bằng nhau:

Bạn đang xem bài: Giải bài 57, 58, 59, 60 trang 61, 62 SGK toán 8 tập 1

a)\({3 \over {2x – 3}}\) và \({{3x + 6} \over {2{x^2} + x – 6}}\)

b)\({2 \over {x + 4}}\) và \({{2{x^2} + 6x} \over {{x^3} + 7{x^2} + 12x}}\)

Hướng dẫn làm bài:

a) \({3 \over {2x – 3}}\) và \({{3x + 6} \over {2{x^2} + x – 6}}\)

Cách 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau.

\({3 \over {2x – 3}}\)= \({{3x + 6} \over {2{x^2} + x – 6}}\)

Vì : \(3\left( {2{x^2} + x – 6} \right) = 6{x^2} + 3x – 18\)

=\(6{x^2} + 12x – 9x – 18\)

=\(2x\left( {3x + 6} \right) – 3\left( {3x + 6} \right)\)

=\(\left( {2x – 3} \right)\left( {3x + 6} \right)\)

Cách 2: Rút gọn phân thức

    \({{3x + 6} \over {2{x^2} + x – 6}} = {{3\left( {x + 2} \right)} \over {2{x^2} + 4x – 3x – 6}} = {{3\left( {x + 2} \right)} \over {2x\left( {x + 2} \right) – 3\left( {x + 2} \right)}}\)     

=\({{3\left( {x + 2} \right)} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {2x – 3} \right)}} = {3 \over {2x – 3}}\)

b) \({2 \over {x + 4}}\) và \({{2{x^2} + 6x} \over {{x^3} + 7{x^2} + 12x}}\)

Cách 1:\({2 \over {x + 4}} = {{2{x^2} + 6x} \over {{x^3} + 7{x^2} + 12x}}\)

Vì : \(2\left( {{x^3} + 7{x^2} + 12x} \right) = 2{x^3} + 14{x^2} + 24x\)

\(=\left( {x + 4} \right)\left( {2{x^2} + 6x} \right)\)

\(= 2{x^3} + 6{x^2} + 8{x^2} + 24x = 2{x^3} + 14{x^2} + 24x\)

Nghĩa là \(2\left( {{x^3} + 7{x^2} + 12x} \right) = \left( {x + 4} \right)\left( {2{x^2} + 6x} \right)\)

Cách 2: \({{2{x^2} + 6x} \over {{x^3} + 7{x^2} + 12x}} = {{2x\left( {x + 3} \right)} \over {x\left( {{x^2} + 7x + 12} \right)}} = {{2\left( {x + 3} \right)} \over {{x^2} + 3x + 4x + 12}}\)

\( = {{2\left( {x + 3} \right)} \over {x\left( {x + 3} \right) + 4\left( {x + 3} \right)}} = {{2\left( {x + 3} \right)} \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)}} = {2 \over {x + 4}}\)

Bài 58 trang 62 sgk toán 8 tập 1

Thực hiện các phép tính sau:

a) \(\left( {{{2x + 1} \over {2x – 1}} – {{2x – 1} \over {2x + 1}}} \right):{{4x} \over {10x – 5}}\)                     

b) \(\left( {{1 \over {{x^2} + x}} – {{2 – x} \over {x + 1}}} \right):\left( {{1 \over x} + x – 2} \right);\)

c) \({1 \over {x – 1}} – {{{x^3} – x} \over {{x^2} + 1}}.\left( {{1 \over {{x^2} – 2x + 1}} + {1 \over {1 – {x^2}}}} \right).\)

Hướng dẫn làm bài:

a) \(\left( {{{2x + 1} \over {2x – 1}} – {{2x – 1} \over {2x + 1}}} \right):{{4x} \over {10x – 5}} = {{{{\left( {2x + 1} \right)}^2} – {{\left( {2x – 1} \right)}^2}} \over {\left( {2x – 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}.{{10x + 5} \over {4x}}\)

=\({{4{x^2} + 4x + 1 – 4{x^2} + 4x – 1} \over {\left( {2x – 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}.{{5\left( {2x + 1} \right)} \over {4x}}\)

=\({{8x.5\left( {2x + 1} \right)} \over {\left( {2x – 1} \right)\left( {2x + 1} \right).4x}} = {{10} \over {2x – 1}}\)

b) \(\left( {{1 \over {{x^2} + x}} – {{2 – x} \over {x + 1}}} \right):\left( {{1 \over x} + x – 2} \right)\)

=\(\left( {{1 \over {x\left( {x + 1} \right)}} + {{x – 2} \over {x + 1}}} \right):{{1 + {x^2} – 2x} \over x}\)

=\({{1 + x\left( {x – 2} \right)} \over {x\left( {x + 1} \right)}}.{x \over {{x^2} – 2x + 1}}\)

=\({{\left( {{x^2} – 2x + 1} \right)x} \over {x\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – 2x + 1} \right)}} = {1 \over {x + 1}}\)

c) \({1 \over {x – 1}} – {{{x^3} – x} \over {{x^2} + 1}}.\left( {{1 \over {{x^2} – 2x + 1}} + {1 \over {1 – {x^2}}}} \right)\)

=\({1 \over {x – 1}} – {{{x^3} – x} \over {{x^2} + 1}}.\left[ {{1 \over {{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} – {1 \over {\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right]\)

=\({1 \over {x – 1}} – {{x\left( {{x^2} – 1} \right)} \over {{x^2} + 1}}.{{x + 1 – \left( {x – 1} \right)} \over {{{\left( {x – 1} \right)}^2}.\left( {x + 1} \right)}}\)

=\({1 \over {x – 1}} – {{x\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {{x^2} + 1}}.{{x + 1 – x + 1} \over {{{\left( {x – 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}}\)

=\({1 \over {x – 1}} – {{x\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right).2} \over {\left( {{x^2} + 1} \right){{\left( {x – 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}} = {1 \over {x – 1}} – {{2x} \over {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}}\)

=\({{{x^2} + 1 – 2x} \over {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}} = {{{{\left( {x – 1} \right)}^2}} \over {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}} = {{x – 1} \over {{x^2} + 1}}\)

Bài 59 trang 62 sgk toán 8 tập 1

a) Cho biểu thức  \({{xP} \over {x + P}} – {{yP} \over {y – P}}\). Thay \(P = {{xy} \over {x – y}}\) vào biểu thức đã cho rồi rút gọn biểu thức.

b) Cho biểu thức \({{{P^2}{Q^2}} \over {{P^2} – {Q^2}}}\). Thay \(P = {{2xy} \over {{x^2} – {y^2}}}\) và \(Q = {{2xy} \over {{x^2} + {y^2}}}\)vào biểu thức đã cho rồi rút gọn biểu thức.

Hướng dẫn làm bài:      

a) Với \(P = {{xy} \over {x – y}}\)

Ta có:\({{xP} \over {x + P}} – {{yP} \over {y – P}} = {{{{{x^2}y} \over {x – y}}} \over {x + {{xy} \over {x – y}}}} – {{{{x{y^2}} \over {x – y}}} \over {y – {{xy} \over {x – y}}}}\)

=\({{{x^2}y} \over {{x^2}}} – {{x{y^2}} \over {{y^2}}} = y + x = x + y\)

b) Với \(P = {{2xy} \over {{x^2} – {y^2}}}\) và \(Q = {{2xy} \over {{x^2} + {y^2}}}\)

Ta có:\({{{P^2}{Q^2}} \over {{P^2} – {Q^2}}}\)\( = {{{{\left( {{{2xy} \over {{x^2} – {y^2}}}} \right)}^2}.{{\left( {{{2xy} \over {{x^2} + {y^2}}}} \right)}^2}} \over {{{\left( {{{2xy} \over {{x^2} – {y^2}}}} \right)}^2} – {{\left( {{{2xy} \over {{x^2} + {y^2}}}} \right)}^2}}}\)\( = {{{{\left[ {{{2xy.2xy} \over {\left( {{x^2} – {y^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}} \right]}^2}} \over {{{4{x^2}{y^2}} \over {{{\left( {{x^2} – {y^2}} \right)}^2}}} – {{4{x^2}{y^2}} \over {{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}}}}}\)

=\({{{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}} \over {{{\left( {{x^4} – {y^4}} \right)}^2}}}} \over {{{4{x^2}{y^2}\left[ {{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2} – {{\left( {{x^2} – {y^2}} \right)}^2}} \right]} \over {{{\left[ {\left( {{x^2} – {y^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \right]}^2}}}}}\)

=\({{{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}} \over {{{\left( {{x^4} – {y^4}} \right)}^2}}}} \over {{{4{x^2}{y^2}.({x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4} – {x^4} + 2{x^2}{y^2} – {y^4}} \over {{{\left( {{x^4} – {y^4}} \right)}^2}}}}}\)

=\({{{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}} \over {{{\left( {{x^4} – {y^4}} \right)}^2}}}} \over {{{4{x^2}{y^2}.4{x^2}{y^2}} \over {{{\left( {{x^4} – {y^4}} \right)}^2}}}}} = {{{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}} \over {{{\left( {{x^4} – {y^4}} \right)}^2}}}} \over {{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}} \over {{{\left( {{x^4} – {y^4}} \right)}^2}}}}} = 1\)

Bài 60 trang 62 sgk toán 8 tập 1

Cho biểu thức  \(\left( {{{x + 1} \over {2x – 2}} + {3 \over {{x^2} – 1}} – {{x + 3} \over {2x + 2}}} \right).{{4{x^2} – 4} \over 5}\).

a) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định.

b) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Hướng dẫn làm bài:

a) \(2x – 2 = 2\left( {x – 1} \right) \ne 0\) khi \(x – 1 \ne 0\) hay \(x \ne 1\) 

\({x^2} – 1 = \left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0\) khi \(x – 1 \ne 0\) và \( x + 1 \ne 0\)

hay \(x \ne 1\) và \( x \ne  – 1\)  

\(2x + 2 = 2\left( {x + 1} \right) \ne 0\) khi \(x + 1 \ne 0\) hay \(x \ne  – 1\) 

Do đó điều kiện để giá trị của biểu thức được xác định là \(x \ne  – 1,x \ne 1\)

b) Để chứng minh biểu thức không phục thuộc vào biến x ta phải chứng tỏ rằng có thể biến đổi biểu thức này thành một hằng số.

Thật vậy:\(\left( {{{x + 1} \over {2x – 2}} + {3 \over {{x^2} – 1}} – {{x + 3} \over {2x + 2}}} \right).{{4{x^2} – 4} \over 5}\)

=\(\left[ {{{x + 1} \over {2\left( {x – 1} \right)}} + {3 \over {\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} – {{x + 3} \over {2\left( {x + 1} \right)}}} \right].{{4{x^2} – 4} \over 5}\)

=\({{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 6 – \left( {x + 3} \right)\left( {x – 1} \right)} \over {2\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.{{4\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over 5}\)

=\({{{x^2} + 2x + 1 + 6 – {x^2} – 2x + 3} \over {2\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.{{4\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over 5}\)

=\({{10} \over {2\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.{{4\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over 5}\)

=\({{10.4.\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {2\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right).5}} = {{10.2} \over 5} = 4\)

Trường THCS Phan Chu Trinh

Trích nguồn: Trường THCS Phan Chu Trinh
Danh mục: Giải bài tập